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S=πr2
你的面前有两个选择。
同样口味、厚度等质地相同的披萨，9寸大小是一个、6寸大小的是两个，你觉得选哪个更划算？
如果你选择两个6寸的披萨…对不起，你错了。虽然长度只比9寸的少3寸、虽然还是两个，但它的总份量却更少。
这是一个简单的算术计算：一个9寸的披萨和两个6寸的披萨，谁的面积更大？
面积的数学公式是什么？面积=3.14×半径的平方，即S=πr2。
表示披萨大小的寸，实际是直径，所以要算面积的话，我们得除以2。
9寸披萨的面积=πr2=3.14×（9÷2）2=63.585寸2
6寸披萨的面积=πr2=3.14×（6÷2）2=28.26寸2，两个披萨就再乘以2了，所以总面积=56.52寸2。
看到没有?
两个6寸披萨的总面积56.52寸2，居然比一个9寸披萨的总面积63.585寸2要小。
披萨的大小，只是由6寸变成9寸、增加了50%，可总面积却是之前的逾2倍…准确数字是2.25倍，即：π（1.5r）2÷π（1r）2=2.25。
半径只增加50%，但面积却增加了125%。
这个数学公式跟城市房价有什么关系呢？有关系。
中国绝大多数城市都是圆圈形的环状发展，先由一个中心城区、再四周圆弧状向外扩展，其形状是不是像极了小披萨变成了大披萨？
这里面有什么门道呢？听我慢慢讲啊。
竟然城市是圆圈状向外扩展，那根据上面的计算，也就是说城市每向外扩展50%的距离（相当于披萨半径变大50%）、城区的总面积就是之前的2.25倍。
再具体的例子就是：
城区半径10公里的城市，其面积约314平方公里，若城区再向外拓展5公里变成了15公里，则该城市的面积就是之前的2.25倍、即约706平方公里。如果新城区跟老城区是均质的——人口密度/建筑密度/道路密度等相同，城市半径每新增50%，那变大后城市就需要老城区2.25倍的人口数量、2.25倍的建筑面积……
这就是核心关键。
城区半径向外扩展……扩展3公里、5公里、甚至10公里等很容易，可看似不多的半径外扩却带来了不成比例的城区面积扩张，而这就会造成更多的房屋供应、同时需要更多人口来填充。
高房价凭什么？相对少的供应、相对多的需求！
而城市每向外扩展一小步，就会造成不成比例的大量房屋供应，此时就需要更多的人来买、需要更多的钱来填坑。否则，这个城市的房价只能大跌、甚至会出现很多鬼城。
如果城市半径向外扩展1倍、2倍、4…倍呢？对应的面积则会是之前的4倍、9倍、16倍…即：城市面积的增加，跟城市半径新增的平方成正比。
可中国的很多城市，城市半径向外扩展50%或许容易，但并不具备2.25倍人口/资金流入的吸引力。
城市的规模，已深陷在数学定律的宿命里。
2
y=ax
不知道大家有没有这种感觉：当一个商品的价格越来越高时，其涨幅就会越来越乏力。
对的，它的背后也有数学公式。
我先说结论吧，之后再推算：当价格越来越高时，想要达到跟之前同样的涨幅、会需要更多的资金去推动…这里面同样是不成比例、不对称的。
我们举个例子。
假设有10000平的房子，当房价由1万元涨到32万元时，房价每次翻倍需要的资金量是多少？
由上面的案例可知：
当房价由1万元翻倍至2万、即涨幅100%时，理论上需要2万亿的资金去推动；当房价由2万翻倍至4万、即涨幅100%时，理论上需要4万亿的资金去推动……当房价由16万翻倍至32万、同样涨幅100%时，理论上则需要32万亿的资金去推动。
能发现什么吗？
房价每涨100%，所需的资金量也翻倍…虽然翻倍，但绝对值增幅却相当大、这种增幅不成比例。这是一个等比数列，也是一个指数函数：
y=2x，x∈[0，+∞）
这个数学公式的意思是，推动房价房翻倍、所需的资金量y，等于2的X次方，这里的x是翻倍的次数，次数的取值范围从0至无穷大，即X可以取值0、1、2、…99、100…9888…当房价第一次翻倍时，需要2倍的资金量（21）；当房价第二次翻倍时，需要4倍的资金量（22）；当房价第三次翻倍时，需要8倍的资金量（23，即3个2相乘：2×2×2）；当房价第四次翻倍时，需要16倍的资金量（24，即4个2相乘：2×2×2×2）……当房价第x次翻倍时，需要2x倍的资金量。
虽然房价每次只是翻倍、涨了100%，但是需要的资金量却呈现出指数上涨的态势。
指数上涨意味着什么？
意味着越往后指数走势越陡峭。对应到房价上来说，就是房价翻倍越往后、所需要的资金量就得不成比例的大幅增长。
说个通俗的例子就是，房价从1000元涨到2000元很容易、需要的资金量很少，房价从2000元涨到4000元还算容易、需要的资金量已开始增加……可当房价从16万翻倍涨到32万时，所需资金量已近乎天文数字。
总结一句话：房价越高，上涨越难；房价越高，翻倍越难！
高房价，已深陷在数学定律的宿命里。
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启示
1、城市规模或许会因快速城镇化而迅速扩大（如过去二十年的中国城市），但持续时间不会很长、规模也不会无限扩大。因为城市半径只向外扩展一点，但会增加大量的城区面积，而这就需要更大量的人口来填充…可人口是不够的。城市化后半场下的中国绝大多数城市，其规模或许就此定格、城市地位或许就此固化、城市中心或许就此确立（过去二十年，城市的中心却一直在迁移）。
对我们的现实启示是，别对城市新区抱有太大期望，买房自住/投资就选主城区，你见到的配套资源会存在、可规划出来的配套资源大概率会镜花水月。
2、高房价会有一个顶，价格越高、翻倍所需的资金量就会越多，相应的翻倍难度就会越大…股市如此、楼市如此、其他资产价格也如此。这也从另一个层面验证了：在投资时，买的价格低、翻倍可能性就会更大、收益获利当然就会更多，更重要的是价格低、进入的门槛就低啊…或许茅台股票还能涨10%，可你买一手（100股）就得近18万元。
但是我们也要知道，资金的流入、聚集才会推动价格的上涨，绝不能仅仅为了低价而购买…中国也有一套5万元的房子（如东北的鹤岗），但若没有资金的流入和聚集，价格再低也不会翻倍哦。
关于城市规模、新区建设、高房价、价格翻倍、投资选择……我从数学的底层定律，希望给你一个新的观察和思考的视角。
